Hauptkomponentenanalyse

Die Hauptkomponentenanalyse (PCA) ist eine statistische Methode zur Reduktion der Dimensionalität von Datensätzen. Sie transformiert die ursprünglichen Variablen in eine neue, lineare Basis aus Hauptkomponenten, die die meiste Varianz der Daten erklären. Die Hauptkomponenten sind orthogonal zueinander und folgen der Reihenfolge ihrer erklärte Varianz.

Mathematisch basiert PCA auf der Kovarianzmatrix der Daten. Nach Zentrierung der Daten (und ggf. Standardisierung) wird diese Matrix gebildet. Aus ihr werden die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt; die Eigenvektoren bilden die neuen Achsen (Hauptkomponenten), sortiert nach abnehmender Varianz. Die Projektion der Daten auf die ersten k Hauptkomponenten ergibt eine reduzierte Repräsentation, die die wesentlichen Strukturen der Daten möglichst gut erhält.

Die Wahl der Anzahl k der Hauptkomponenten erfolgt oft anhand der erklärten Varianz, beispielsweise über einen Scree-Plot oder das Kaiser-Kriterium. Die Ergebnisse der PCA lassen sich auch über die Singulärwertzerlegung (SVD) der Datenmatrix gewinnen; SVD ist eine äquivalente Sichtweise und oft numerisch stabiler. Erweiterte Varianten umfassen Kernel PCA für nichtlineare Strukturen und robuste PCA-Ansätze zur besseren Handhabung von Ausreißern.

Anwendungen finden sich in der Bild- und Spracherkennung, der Datenkompression, der explorativen Datenanalyse, der Visualisierung hochdimensionaler Daten sowie in Bereichen wie Genomik und Umweltwissenschaften. Vorteile der PCA sind die Reduktion der Dimensionalität bei Erhalt der wichtigsten Varianzanteile und eine oft einfachere Interpretation der Hauptkomponenten. Nachteile sind die lineare Natur der Transformation, Anfälligkeit für Skalierung und Ausreißer sowie begrenzte Interpretierbarkeit der Komponenten.

Historisch wurde die Methode 1901 von Karl Pearson eingeführt; der Begriff Hauptkomponenten bezieht sich auf die wichtigsten, maximal erklärten Varianzanteile der Daten.