Dimensionalität

Dimensionalität ist ein Grundbegriff in Mathematik, Physik und Informatik und bezeichnet die Anzahl unabhängiger Koordinaten, die benötigt werden, um Punkte eines Raums eindeutig zu bestimmen. In der linearen Algebra ist die Dimension eines Vektorraums die Größe einer Basis; der n-dimensionale Raum besitzt demnach die Dimension n. Geometrisch lässt sich Dimensionalität als minimale Anzahl von Freiheitsgraden interpretieren, die nötig sind, um ein Objekt zu beschreiben.

Es gibt verschiedene Konzepte von Dimension. Die topologische Dimension misst die Komplexität eines Raums unabhängig von Koordinaten. Die Hausdorff-Dimension oder die Fraktaldimension beschreiben Ausdehnung auch bei unregelmäßigen oder selbstähnlichen Strukturen; Fraktale können nicht ganzzahlige Dimensionen besitzen. Die Embedding-Dimension ist die Dimension des Raums, in den ein Objekt eindeutig eingebettet werden kann; die intrinsische Dimensionalität bezeichnet die minimale Dimension, in der das Objekt seine Struktur realisieren kann.

Beispiele: Der Raum hat drei Dimensionen, oft zusammen mit der Zeit als vierdimensionale Raumzeit betrachtet. Ein zweidimensionales Blatt ist zweidimensional, eine Gerade ist eindimensional. In der Datenanalyse spricht man von der intrinsischen Dimensionalität eines Datensatzes, die oft kleiner ist als die Anzahl derMerkmale. Hohe Dimensionalität kann zu Problemen wie dem Fluch der Dimensionalität führen, etwa in der Mustererkennung und der Speicherung.

Anwendungen: In der Physik spielen Dimensionen zentrale Rollen, etwa in der Relativitätstheorie (4-D-Spacetime) oder in Theorien mit zusätzlichen Dimensionen. In der Informatik nutzt man Dimensionsreduktion (PCA, t-SNE, UMAP), um die intrinsische Dimensionalität zu schätzen, zu visualisieren oder Repräsentationen zu vereinfachen.