Fraktaldimension

Fraktaldimension ist ein Maß für die Komplexität eines Fraktals. Sie beschreibt, wie sich Größen wie Umfang, Masse oder die Anzahl der Bausteine mit der Skala verändern. Fraktaldimensionen können nicht unbedingt durch ganze Zahlen beschrieben werden; viele Fraktale besitzen eine nicht ganzzahlige Dimension, die ihre feine, selbstähnliche Struktur wiedergibt.

Zu den zentralen Definitionen gehören die Hausdorff-Dimension, die Box-Counting-Dimension und die Minkowski-Dimension. Die Hausdorff-Dimension verwendet feine Abdeckungen und liefert eine Maßgröße, die selbst bei sehr unregelmäßigen Mengen sinnvoll bleibt. Die Box-Counting-Dimension basiert auf der Skalierung der Anzahl benötigter Würfel (Boxen) kleiner Größe. In vielen Fällen gilt: dim_H ≤ dim_B ≤ dim_M, wobei Gleichheiten unter bestimmten Voraussetzungen auftreten können.

Beispiele: Die Cantor-Menge besitzt D = log 2 / log 3 ≈ 0,6309; der Sierpinski-Dreieck hat D = log 3 / log 2 ≈ 1,585; die Koch-Kurve hat D = log 4 / log 3 ≈ 1,2619.

Historisch entstand das Konzept der Hausdorff-Dimension durch Felix Hausdorff im Jahr 1919. Der Begriff Fraktal wurde durch Benoit Mandelbrot in den 1960er bis 1980er Jahren populär, insbesondere durch sein Buch Die fraktale Geometrie der Natur.

Fraktaldimension wird in Wissenschaft und Technik verwendet, um Strukturen in der Natur und in Materialien zu charakterisieren, etwa Küstenlängen, Porosität, Muster in der Bildanalyse sowie in der Physik zur Beschreibung von Chaos, Turbulenz und Wachstumsprozessen.