CantorMenge

Die Cantor-Menge, auch Cantor-Menge genannt, ist eine berühmte Teilmenge des Intervalls [0,1], die durch sukzessives Entfernen der offenen Mitteldrittel entsteht. Ausgehend von [0,1] wird das offene Intervall (1/3, 2/3) entfernt; in der nächsten Stufe werden aus jeder verbleibenden Teilmenge die offenen Mitteldrittel entfernt, usw. Nach n Schritten bestehen die übrig bleibenden Intervallen aus 2^n geschlossenen Intervallen der Länge 3^{-n}. Der Schnitt aller Stufen ergibt die Cantor-Menge C.

Topologisch ist C eine kompakte, abgeschlossene Menge in den reellen Zahlen. Sie ist perfekt (jeder Punkt ist Grenzpunkt von C) und total zerlegt, das heißt, sie enthält kein Intervall. C hat Lebesgue-Maß Null und ist damit ein klassisches Beispiel einer unendlichen Menge mit Maß Null; gleichzeitig ist sie unzählbar.

Charakterisierungen

Eine gängige charakteristische Eigenschaft ist die Darstellbarkeit über Basis-3-Expansionen: Jede Zahl x in C besitzt eine Basis-3-Darstellung, in der keine Ziffer 1 vorkommt. Umgekehrt lässt sich aus jeder binären Folge eine eindeutige Punkt in C ableiten, indem man in der Basis-3-Darstellung 0 durch 0 und 1 durch 2 ersetzt. Damit ist C homeomorph zum Raum der unendlichen binären Folgen.

Dimension und Funktion

Die Hausdorff-Dimension von C beträgt log 2 / log 3 ≈ 0,6309. C dient oft als Beispiel eines Fraktals mit Nullmaß, aber unendlich vielen Punkten. Die Cantor-Funktion F:[0,1]→[0,1] verbindet C mit dem Intervall: Sie ordnet jedem x in C eine binäre Zahl zu und ist eine stetige, monotone Funktion, deren Ableitung fast überall gleich Null ist und die C auf ganz [0,1] abbildet.

Variationen

Es gibt generalisierte Cantor-Mengen, bei denen andere Mitteldrittel entfernt werden oder andere Skalierungsregeln gelten, was zu einer Familie von fraktalen Mengen mit unterschiedlichen Dimensionen führt.