LebesgueMaß

Lebesgue Maß, auch Lebesgue-Maß genannt, ist das standardmäßige Maß im euklidischen Raum R^n, das Translation invariance besitzt und die übliche Länge, Fläche bzw. das Volumen auf Boxen erweitert. Es wird auf der Menge der Lebesgue-messbaren Mengen definiert und häufig mit λ^n oder m^n bezeichnet.

Es entsteht durch die äußere Maßbildung und das Carathéodory-Kriterium. Für E ⊆ R^n definiert man die äußere Maß m*(E) als das Infimum der Summen der Volumina abzählbar vieler achsen-paralleler Rechtecke, die E überdecken. Eine Teilmenge E ist Lebesgue-messbar, wenn für alle A ⊆ R^n gilt m*(A) = m*(A∩E) + m*(A\E). Die Lebesgue-Maßfunktion m ist dann die Restriktion von m* auf die messbaren Mengen und wird durch Abschließen (Vollständigkeit) erweitert, d. h. alle Teilmengen von Nullmengen sind ebenfalls messbar.

Eigenschaften: m ist σ-additiv, nichtnegativ und translation invariant: m(E+x) = m(E) für alle E ⊆ R^n, x ∈ R^n. Für ein Rechteck I = ∏_{i=1}^n [a_i, b_i] gilt m(I) = ∏_{i=1}^n (b_i − a_i). Nullmengen enthalten viele Beispiele (und sind alle messbar); das Maß ist vollständig.

Regulärität: Lebesgue Maß ist inner- und äußere regulär: Für E ⊆ R^n gilt m(E) = sup{ m(K) : K kompakt, K ⊆ E } = inf{ m(U) : E ⊆ U offen }.

Beziehung zu Borel-Maß: Das Lebesgue Maß enthält alle Borel-Mengen und erweitert sie um viele weitere Mengen. Es ermöglicht das Lebesgue-Integral und fundamentale Sätze der Analysis wie Fubini- und Tonelli-Theoreme sowie den Satz vom dominierten Konvergenzprinzip. Beispiele: m([0,1]) = 1 in n=1; m([0,1]^n) = 1; m(R^n) = ∞.