LebesgueMaßfunktion

Die Lebesgue-Maßfunktion, meist als Lebesguemaß bezeichnet, ist das standardmäßige Maß μ auf dem Raum der Lebesgue-messbaren Mengen in R^n. Es ordnet jeder Lebesgue-messbaren Menge A ⊆ R^n eine nichtnegative Zahl μ(A) zu, die als Volumen interpretiert wird. Die Konstruktion erfolgt über die äußere Maßbildung μ*: Für E ⊆ R^n definiert μ*(E) = inf{ Σ vol(I_k) : E ⊆ ⋃ I_k, I_k sind Rechtecke in R^n }. Eine Menge E ist Lebesgue-messbar, wenn μ*(A) = μ*(A∩E) + μ*(A\E) für alle A ⊆ R^n; μ wird dann durch μ(E) = μ*(E) definiert.

Eigenschaften: μ ist translation invariant μ(A+x) = μ(A) und homogen μ(sA) = s^n μ(A) für alle s>0. Es ist σ-additiv, monoton und vollständig; jede Teilmenge einer Nullmenge ist messbar und hat Maß 0. μ(R^n) = ∞, aber R^n ist durch abzählbare Mengen mit endlichem Maß σ-endlich. Die Lebesgue-Maßfunktion ist regulär: Für jeden messbaren E gilt μ(E) = sup μ(K) über kompakte K ⊆ E und μ(E) = inf μ(U) über offene U ⊇ E.

Bezug und Anwendungen: Das Lebesguemaß erweitert das Jordan- und Borelmaß und bildet die Grundlage der Lebesgue-Integration. Man definiert das Integral von Funktionen f ∶ R^n → [−∞,∞] bezüglich μ; zentrale Sätze wie Fubini, Dominated Convergence Theorem und der Satz von Fatou folgen. Das Maß ist das Standardmaß in Wahrscheinlichkeits- und Analysis-Kontexten.