Nullmenge

Nullmenge, auch leere Menge, bezeichnet in der Mengenlehre eine eindeutige Menge, die keine Elemente enthält. Die übliche Notation ist das Symbol ∅; in einfacher Textform wird auch {} verwendet. Die leere Menge ist die einzige Menge ohne Elemente und dient als neutrales Element bei der Vereinigung, da für jede Menge A gilt: A ∪ ∅ = A, während A ∩ ∅ = ∅.

Eigenschaften: Für jede Menge A gilt ∅ ⊆ A. Die Kardinalität von ∅ ist 0. Das kartesische Produkt mit einer beliebigen Menge ergibt ∅, also A × ∅ = ∅. Die leere Menge ist eindeutig, was sich aus der Extensionalität ableiten lässt. In axiomatischen Systemen existiert durch das Axiom der leeren Menge eine spezielle Menge ohne Elemente; oft wird sie auch genutzt, um die von-Neumann-Konstruktion der natürlichen Zahlen zu definieren, bei der 0 als die leere Menge identifiziert wird.

Beispiele und Anwendungen: Die leere Menge erscheint häufig als Gegenbeispiel oder als Träger leerer Bildmengen; etwa die Menge der natürlichen Zahlen x mit der Bedingung x > 1000 und x < 1000 ist leer. Bei Mengenoperationen wirkt ∅ als neutrales Element der Vereinigung und als Resultat des Schnitts, wenn die Bedingung widersprüchlich ist. In der Mathematik dient sie als fundamentaler Baustein beim Aufbau von Zahlen- und Ordinalstrukturen.

Terminologie: In der deutschen Mathematik ist der Begriff üblicherweise Nullmenge oder leere Menge; im Englischen lautet der Begriff empty set.