Borelmaß

Der Begriff Borelmaß bezeichnet in der Mathematik eine Maßfunktion μ, definiert auf der Borel-Sigma-Algebra B(X) eines topologischen Raums X. Die Borel-Sigma-Algebra ist die kleinstmögliche σ-Algebra, die alle offenen Mengen enthält. Ein Borelmaß ordnet jeder Borel-Menge eine nichtnegative Zahl zu und erfüllt μ(∅)=0 sowie σ-Additivität.

Beispiele: Auf dem reellen Linien R lässt sich das Lebesgue-Maß auf die Borel-Mengen beschränken; der Dirac-Maß δ_x ist ein einfaches Borelmaß, das jeder Menge 1 zuordnet, wenn x enthalten ist, sonst 0. In einem diskreten Raum entspricht die Borel-Sigma-Algebra allen Teilmengen und das Zählmaß ist ein Borelmaß.

Reguläre Borelmaße: In metrischen Räumen kann man zusätzliche Regulärität verlangen. Ein Maß μ auf B(X) heißt inner regulär, wenn μ(E)=sup{μ(K): K⊂E, K kompakt}, und outer regulär, wenn μ(E)=inf{μ(U): E⊂U, U offen} für alle E∈B(X). Unter geeigneten Bedingungen (lokalkompakte Hausdorffräume) ist ein reguläres Borelmaß oft ein Radonmaß.

Erweiterung und Verbindung zu anderen Maßen: Man kann einen Borelmaß durch Ergänzung mit Nullmengen zu einem vollständigen Maß erweitern. Die Carathéodory-Erweiterung ermöglicht, aus einem Pre- oder Outer-Measure ein Borelmaß zu konstruieren. Auf der Geraden R entspricht das Borelmaß dem von der Verteilungsfunktion F abgeleiteten Maß.

Verwendung: Borelmaße dienen der Integration, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Formulierung von Verteilungsfunktionen. Sie liefern eine grundlegende Maßtheorie auf topologischen Räumen, insbesondere auf linearen Räumen wie R.