Verteilungsfunktion

Eine Verteilungsfunktion, im Englischen häufig als CDF (cumulative distribution function) bezeichnet, ist in der Wahrscheinlichkeits- und Statistiktheorie die Funktion F eines realwertigen Zufallsvariablen X definiert durch F(x) = P(X ≤ x). Sie nimmt Werte zwischen 0 und 1 an und bestimmt die Verteilung von X vollständig.

Zu den grundlegenden Eigenschaften gehören: F ist monotone nicht fallend (F(x1) ≤ F(x2) für x1 < x2) und rechtsseitig stetig. Es gelten die Grenzwerte F(-∞) = 0 und F(∞) = 1. Die Verteilungsfunktion beschreibt damit die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert bis zu x annimmt. In der Praxis lässt sich P(a < X ≤ b) durch F(b) − F(a) berechnen; P(X ≤ x) entspricht F(x).

Zusammenhang mit Dichte und diskreten Massen: Hat X eine Dichte f, so ergibt sich F(x) = ∫_{-∞}^{x} f(t) dt. Ist X diskret mit Masspunkten xi, dann hat F Sprünge an diesen Punkten, deren Größen p_i = P(X = x_i) sind. An Stellen ohne Masse bleibt F konstant.

Quantile und Anwendungen: Quantile lassen sich über F definieren, z. B. das p-Quantil x_p = inf{ x : F(x) ≥ p }. Verteilungen werden oft durch ihre Verteilungsfunktion beschrieben, statt durch eine Dichte, besonders bei unstetigen Verteilungen. Beispiele: Die Verteilungsfunktion der Uniformverteilung auf dem Intervall (0,1) ist F(x) = 0 für x ≤ 0, F(x) = x für 0 ≤ x ≤ 1 und F(x) = 1 für x ≥ 1. Die Standardnormalverteilung hat F(x) = Φ(x), das keine geschlossene Form besitzt, aber numerisch bestimmt wird. Erweiterungen umfassen mehrdimensionale Verteilungsfunktionen F_X,Y(x,y) = P(X ≤ x, Y ≤ y).