Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit ist ein mathematisches Konzept zur Beschreibung der Unsicherheit bei zufälligen Ereignissen. Formal wird sie durch ein Wahrscheinlichkeitsmaß P definiert, das auf dem Ergebnisraum Ω eines Zufallsexperiments liegt. Die Axiome besagen: P(Ω)=1, P(A)≥0 für alle Ereignisse A ⊆ Ω, und P(A∪B)=P(A)+P(B) für disjunkte Ereignisse A und B. Diese Kolmogorov-Axiome bilden die Grundlage der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Zufallsexperimente liefern Ergebnisräume Ω (z. B. das Werfen eines Würfels). Ein Ereignis ist eine Teilmenge von Ω. Wahrscheinlichkeiten können diskret sein, z. B. p(x)=P(X=x) für eine Zufallsvariable X, oder stetig, z. B. durch eine Dichtefunktion f mit der Verteilungsfunktion F(x)=P(X≤x).

Wichtige Konzepte sind bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B)=P(A∩B)/P(B) für P(B)>0 und Unabhängigkeit, bei der P(A∩B)=P(A)P(B). Zur Beschreibung von Verteilungen dienen Erwartungswert E[X] und Varianz Var(X). Sätze wie Bayes' Theorem P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B) verknüpfen Wahrscheinlichkeiten unterschiedlicher Ereignisse.

Interpretationen der Wahrscheinlichkeit unterscheiden sich: Der Frequentist betrachtet Wahrscheinlichkeiten als langfristige relative Häufigkeiten, der Bayesianische Ansatz interpretiert sie als Grad der Überzeugung, aktualisiert durch neue Daten (Prior- und Posterior-Verteilung).

Anwendungen reichen von Statistik und Naturwissenschaften über Informatik bis hin zu Wirtschaft und Technik. Die moderne Theorie wurde im 20. Jahrhundert durch Bernoulli, Laplace, Kolmogorov und andere entwickelt.