Verteilungen

Verteilungen, auch Wahrscheinlichkeitsverteilungen genannt, beschreiben, wie Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments verteilt sind. Sie bilden die Grundlage statistischer Modelle und der Inferenz. Grundsätzlich unterscheidet man diskrete Verteilungen, bei denen X nur abzählbare Werte annimmt, und stetige Verteilungen, bei denen X in einem Intervall kontinuierliche Werte annehmen kann. Zu jeder Verteilung gehören Wahrscheinlichkeitsmaße, Verteilungsfunktionen und Momente wie Erwartungswert und Varianz.

Bei diskreten Verteilungen dient die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = k) als Kerninformation. Die Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x) fasst die Wahrscheinlichkeiten zusammen. Die Erwartung μ = E[X] und die Varianz σ^2 = Var(X) geben zentrale Lage und Streuung an. Die Zufallsvariable besitzt oft eine vollständige Spezifikation durch Parameter wie n, p oder λ.

Bei stetigen Verteilungen wird häufig eine Dichtefunktion f(x) verwendet, mit der Wahrscheinlichkeiten über Integrale bestimmt werden. Die Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x) ergibt sich als Integral von f von −∞ bis x. Auch hier liefern Momente Informationen zu Lage und Form der Verteilung.

Zu den bekannten diskreten Verteilungen gehören die Binomialverteilung, Poissonverteilung und Geometrische Verteilung; zu den stetigen Verteilungen Normalverteilung, Gleichverteilung, Exponentialverteilung, Gammaverteilung. Multivariate Verteilungen beschreiben Zusammenhänge mehrerer Zufallsgrößen, mit gemeinsamen Verteilungen und Randverteilungen.

Verteilungen dienen der Modellierung realer Phänomene, der Durchführung von Hypothesentests, der Bestimmung von Konfidenzintervallen und der Simulation von Prozessen (Monte Carlo). Parameter werden häufig mittels Maximum-Likelihood-Schätzung oder Momentenmethode bestimmt.