Normalverteilung

Die Normalverteilung, auch Gauss-Verteilung genannt, ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer glockenförmigen Dichtefunktion. Sie wird durch zwei Parameter bestimmt: den Mittelwert μ, der die Lage der Verteilung festlegt, und die Standardabweichung σ, die die Breite bestimmt. Die Dichte lautet f(x) = 1/(σ√(2π)) * exp(−(x−μ)²/(2σ²)).

Zu den zentralen Eigenschaften gehört die Symmetrie um μ und die Unimodalität. Der Erwartungswert der Verteilung ist μ und die Varianz σ². Für eine Normalverteilung gilt, dass lineare Transformationen von X ~ N(μ, σ²) ebenfalls normalverteilt sind: aX + b ~ N(aμ + b, a²σ²). Die Standardnormalverteilung Z = (X−μ)/σ besitzt N(0,1). Wichtige Momente sind deshalb E[X] = μ, Var[X] = σ², Skewness = 0 und Excess-Kurtosis = 0.

Die Normalverteilung spielt eine zentrale Rolle in der Statistik, insbesondere wegen des Zentralen Grenzwertsatzes: Viele unabhängige additive Fehler sind annähernd normalverteilt. Die sogenannte 68-95-99,7-Regel ermöglicht grobe Wahrscheinlichkeitsabschätzungen: Etwa 68% der Werte liegen innerhalb von ±σ um μ, 95% innerhalb von ±2σ, und 99,7% innerhalb von ±3σ. Standardisierte Werte oder Z-Scores ermöglichen Berechnungen mit der Verteilungsfunktion Φ.

Anwendungen umfassen Messfehleranalyse, Hypothesentests, Konfidenzintervalle sowie die statistische Modellierung von Residuen. Parameter μ und σ werden häufig durch den Stichprobenmittelwert x̄ bzw. die Stichprobenstandardabweichung s geschätzt. Realweltdaten folgen jedoch nicht immer einer Normalverteilung; Abweichungen von Normalität erfordern gegebenenfalls andere Modelle oder Transformationen. Es existiert auch die multivariate Normalverteilung für Vektoren von Zufallsvariablen.