Exponentialverteilung

Die Exponentialverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Intervall [0, ∞) und modelliert die Zeit zwischen zufälligen Ereignissen in einem Poissonprozess mit konstanter Ereignisrate λ > 0. Sie lässt sich auch über eine Skalenparameterisierung θ = 1/λ ausdrücken.

Die Dichte der Exponentialverteilung lautet f(x) = λ e^{-λ x} für x ≥ 0, ansonsten 0. Die Verteilungsfunktion ist F(x) = 1 − e^{-λ x} für x ≥ 0. Die Exponentialverteilung hat keine negative Werte und besitzt eine stetige, abfallende Form.

Wichtige Momente sind der Erwartungswert E[X] = 1/λ und die Varianz Var(X) = 1/λ^2. Die Verteilung besitzt die Gedächtnislosigkeit: P(X > s+t | X > s) = P(X > t). Diese Eigenschaft macht sie einzigartig unter kontinuierlichen Verteilungen in Bezug auf Gedächtnislosigkeit.

Zusammenhang mit dem Poissonprozess: Die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Ereignissen in einem homogenen Poissonprozess mit Rate λ folgen unabhängig identisch der Exponentialverteilung mit Parameter λ. Die Anzahl der Ereignisse in einem festen Intervall der Länge t folgt einer Poisson-Verteilung mit Parameter λt.

Parameterenschätzung erfolgt häufig via Maximum-Likelihood-Schätzung, bei einer Stichprobe von Interarrival-Zeiten x1, ..., xn ergibt sich λ_hat = n / Σ xi. Alternativ kann der Erwartungswert als Methode der Momente genutzt werden, wobei θ = E[X] = 1/λ gilt.

Anwendungen finden sich in der Zuverlässigkeitstechnik, Lebensdaueranalyse, Warteschlangentheorie und Risikomodellierung, insbesondere dort, wo Ereignisse zufällig und mit konstanter Rate auftreten.