Erwartungswert

Der Erwartungswert, in der Wahrscheinlichkeitstheorie oft mit E[X] notiert, bezeichnet den langfristigen Durchschnitt der Werte einer Zufallsvariable X, wenn ein Zufallsexperiment unendlich oft wiederholt wird. Er dient als Maß für die zentrale Tendenz der Verteilung und kann als gewichteter Mittelwert der möglichen Ergebnisse verstanden werden, wobei die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse als Gewichte wirken.

Für eine diskrete Zufallsvariable X mit den Werten x1, x2, … und Wahrscheinlichkeiten p1, p2, … lautet der Erwartungswert E[X] = Σ_i x_i p_i. Für eine stetige Zufallsvariable mit Dichte f gilt E[X] = ∫_{-∞}^{∞} x f(x) dx. Voraussetzung dafür ist, dass E|X| < ∞, damit der Erwartungswert existiert.

Der Erwartungswert besitzt die Linearität: E[aX + bY] = a E[X] + b E[Y] für alle Zufallsvariablen X, Y und Konstanten a, b. In particular gilt E[X + Y] = E[X] + E[Y], unabhängig davon, ob X und Y unabhängig sind. Eine wichtige Beziehung ist der bedingte Erwartungswert E[X|Y], und die Gesetzmäßigkeit der totalen Erwartung E[X] = E[E[X|Y]].

Beispiele: Bei einem fairen Münzwurf, bei dem X 1 für Kopf und 0 für Zahl annimmt, ist E[X] = 1/2. Bei einer Normalverteilung mit Erwartungswert µ gilt E[X] = µ. Anwendungen finden sich in Statistik, Finanzmathematik und Risikoanalysen, etwa zur Bestimmung des fairen Preises oder der erwarteten Rendite. Der Erwartungswert ist ein zentrales, aber nicht alleiniges Charakteristikum der Verteilung; er kann Werte annehmen, die Modus oder Median übersteigen bzw. unterschreiten.