Parameterenschätzung

Parameterenschätzung bezeichnet Verfahren zur Bestimmung der Werte von Parametern eines statistischen Modells anhand beobachteter Daten. Ziel ist es, das Modell möglichst gut an die Daten anzupassen und die Unsicherheit der Schätzwerte abzubilden. Je nach theoretischer Ausrichtung unterscheiden sich Interpretationen, etwa in freuentistischen oder bayesschen Perspektiven.

Zu den gängigsten Ansätzen gehören frequentistische Methoden wie die Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE), die Parameterwerte wählt, die die Wahrscheinlichkeiten der beobachteten Daten maximieren. In vielen Anwendungen wird auch die Methode der kleinsten Quadrate (Least Squares) verwendet, insbesondere bei linearen Modellen. Die Methode der Momente bietet eine weitere Möglichkeit, Parameter anhand der theoretisch erwarteten Momente abzuschätzen. Im bayesschen Rahmen verbinden Priorverteilung und Likelihood die Informationen, und daraus ergibt sich eine Posterior-Verteilung, aus der Punkteinschätzungen und Intervallschätzungen abgeleitet werden.

Schätzer werden hinsichtlich ihrer Eigenschaften bewertet, insbesondere auf Konsistenz, Effizienz und Verzerrung. Unter Regularität konvergieren konsistente Schätzer mit wachsender Stichprobe gegen den wahren Parameter; MLEs sind oft asymptotisch normal und effizient, sodass sie nahe der Cramér-Rao-Untergrenze liegen. Die Fisher-Information beschreibt die theoretische Präzision der Schätzung.

In der Praxis ist die Identifizierbarkeit des Modells wichtig: Parameter müssen eindeutig aus der Verteilung der Daten ableitbar sein. Oft sind numerische Optimierung und Stabilität der Lösung zentrale Herausforderungen. Zur Gütebewertung dienen Residualanalysen, Informationskriterien wie AIC/BIC und Resampling-Verfahren wie Bootstrap.

Beispiele und Anwendungen umfassen die Schätzung des Mittelwerts einer Normalverteilung via MLE, die Koeffizientenbestimmung in der linearen oder logistischen Regression und die bayessche Schätzung von Regressionsparametern. Parameterenschätzung findet Anwendung in Statistik, Ökonometrie, Ingenieurwesen und Naturwissenschaften.