asymptotisch

Der Begriff asymptotisch, abgeleitet von griechisch asymptotos, wird in der Mathematik verwendet, um das Verhalten von Funktionen oder Kurven in Grenzsituationen zu beschreiben. Am häufigsten bezieht sich das asymptotische Verhalten auf das Annähern an eine Grenze wie x → ∞, x → a oder y → ∞. Ein charakteristisches Beispiel ist eine Funktion, die eine Asymptote besitzt: eine Gerade, zu der sich der Funktionsgraph unendlich nähert, etwa y = 0 als horizontale Asymptote von y = 1/x, wenn x → ∞.

In der Analysis wird der Begriff verwendet, um das Verhältnis zweier Funktionen zu beschreiben. Zwei Funktionen f und g heißen asymptotisch äquivalent, f(x) ~ g(x) für x → a, wenn der Quotient f(x)/g(x) gegen 1 geht. Eine weitere Form ist die asymptotische Entwicklung (Asymptotic expansion), die eine Funktion durch eine Reihe von Termen darstellt, die bevorzugt in Grenzwerten zuverlässig ist.

In der Informatik und Mathematik begegnet man der Big-O-Notation, die asymptotische Ober- oder Untergrenzen von Funktionen beschreibt, z. B. f(n) = O(g(n)) als n → ∞. Auch Begriffe wie asymptotisch normalverteilt beziehen sich auf das Verhalten von Statistiken im Grenzwert, etwa dass sich die Verteilung einer Schätzgröße mit wachsendem Stichprobenumfang gegen eine Normalverteilung annähert.

Zusammengefasst bezeichnet asymptotisch das Annähern an Grenzwerte oder das Grenzverhalten von Funktionen, Kurven und Verteilungen, insbesondere im Grenzwertverhalten und in der approximativen Beschreibung durch einfachere Modelle.