normalverteilt

Normalverteilt bedeutet, dass eine Zufallsvariable einer Normalverteilung folgt. Eine Zufallsvariable X ist normalverteilt mit den Parametern μ (Erwartungswert oder Mittelwert) und σ^2 (Varianz); man schreibt X ~ N(μ, σ^2). Die Wahrscheinlichkeitsdichte lautet f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)). Die Standardnormalverteilung hat μ = 0 und σ = 1; Z = (X-μ)/σ folgt dann N(0,1). Die Verteilungsfunktion wird durch Φ angegeben.

Eigenschaften der Normalverteilung sind unter anderem: Sie ist symmetrisch um μ, unimodal und hat μ als Mittelwert, Median und Modus. Die Varianz beträgt σ^2. Die Form der Verteilung ist eine Glockenkurve mit schneller abnehmenden Rand- bzw. tail-Wahrscheinlichkeiten. Lineare Transformationen bleiben normalverteilt: aX + b hat die Verteilung N(aμ + b, a^2 σ^2). Gesammelte Wahrscheinlichkeiten lassen sich oft mit der Standardisierung verwenden, z. B. durch Z-Werte.

Anwendung und Bedeutung: Viele natürliche Phänomene nähern sich aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes einer Normalverteilung an. In der Statistik werden viele Verfahren unter der Annahme der Normalverteilung verwendet oder durch Normalapproximationen gerechtfertigt. Typische Werkzeuge sind z-Tests, Konfidenzintervalle und Regressionen, bei denen Normalität von Residuen oder Messfehlern eine Annahme ist.

Hinweis: Normalverteilung ist ein nützliches Modell, entspricht aber nicht allen realen Daten. Abweichungen wie Schiefe oder schwere Tails erfordern alternative Modelle oder Transformationen.