Grenzverhalten

Grenzverhalten bezeichnet in der Mathematik das Verhalten einer Größe, etwa einer Funktion oder einer Folge, wenn ihr Argument sich einem Randpunkt des Definitionsbereichs nähert oder gegen unendlich strebt. Es beschreibt, wie schnell oder in welcher Form diese Größe dem Grenzwert zustrebt. Das Grenzverhalten kann je nach Annäherungsrichtung verschieden sein (links, rechts oder entlang verschiedener Pfade in mehrdimensionalen Fällen).

Bei Funktionen f: I → R mit einem Randpunkt a am Rand von I gilt der Grenzwert L, falls für alle Annäherungen x → a f(x) → L; bei x → ∞ analog. Existiert kein Grenzwert, spricht man von Divergenz oder unbestimmten Grenzwerten. In der mehrdimensionalen Analysis bezieht sich das Grenzverhalten zusätzlich darauf, wie sich f(x) dem Rand der Definitionsdomäne nähert, wobei Pfadabhängigkeiten auftreten können.

Als asymptotisches Grenzverhalten beschreibt man, wie sich Größen gegenüber unendlichen Werten verhalten, oft durch führende Terme. Die Notation f(x) ~ g(x) bedeutet, dass f(x)/g(x) → 1; O- und o-Notation quantifizieren die Grössenordnung im Grenzbereich.

Beispiele: lim_{x→0} (sin x)/x = 1; lim_{x→∞} e^{-x} = 0. Grenzverhalten ist zentral in der asymptotischen Analysis, der Approximation durch Reihen und der Untersuchung von Konvergenzgeschwindigkeiten. Es beeinflusst auch, ob Funktionen am Rand fortsetzbar oder integrierbar bleiben.

Siehe auch Grenzwert, Stetigkeit, Konvergenz, Asymptotik.