Priorverteilung

Priorverteilung bezeichnet in der Bayesianischen Statistik die Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit der vor der Beobachtung von Daten eine Annahme über einen unbekannten Parameter getroffen wird. Sie ergänzt die Likelihood und bildet zusammen mit ihr die Grundlage der Posteriorverteilung.

Zweck ist es, vorhandenes Vorwissen oder Unsicherheit formell zu kodieren, Regularisierung zu ermöglichen und bei kleinen Stichproben eine sinnvolle Schätzung zu ermöglichen. Die Wahl des Priors kann die Posteriorverteilung beeinflussen, weshalb Transparenz und Sensitivitätsanalysen wichtig sind.

Arten: Informative Priore verwenden konkretes Vorwissen. Nichtinformative oder schwach informative Priore sollen möglichst wenig Informationen vorgeben. Impropere (unbeschränkte) Priore sind theoretisch, können aber zu Problemen bei der Normalisierung führen. Konjugierte Priore bewirken in vielen Modellen eine einfache Berechnung, weil Posterior dieselbe Verteilungfamilie wie der Prior hat (z. B. Beta für Binomial, Gamma für Poisson, Normal mit bekannter Varianz).

Beispiele: Bei einer Binomialbeobachtung n, k passt oft Beta(a,b) als Prior; die Posterior ist dann wieder Beta. Für Poisson mit Rate λ eignet sich Gamma(α,β) als Prior. Für normalverteilte Daten mit bekannter Varianz ist Normal(mu0, τ^2) gängig; in hierarchischen Modellen können Hyperprioren auftreten, deren Parameter wiederum randomisiert sind.

Posterior und Praxis: Die Posteriorverteilung ergibt sich aus der Bayes-Regel. Priors beeinflussen Mittelwert, Varianz und Schätzungen besonders bei kleinen Datenmengen; in großen Stichproben verliert der Prior an Gewicht. In der Praxis werden oft schwach informative oder hierarchische Priore verwendet; Sensitivitätsanalysen sind gängig.