Posteriorverteilung

Die Posteriorverteilung bezeichnet in der Bayesschen Statistik die Wahrscheinlichkeitsverteilung der unbekannten Größe θ nach der Beobachtung der Daten D. Sie fasst das aktualisierte Wissen über θ zusammen, nachdem Informationen aus D berücksichtigt wurden.

Formell gilt: P(θ|D) = P(D|θ) P(θ) / P(D). Hierbei ist P(θ) die Priorverteilung, P(D|θ) die Likelihood und P(D) die Randwahrscheinlichkeit von D, gegeben durch P(D) = ∫ P(D|θ) P(θ) dθ (bei stetigen θ). Die Posteriorverteilung kombiniert Vorwissen (Prior) mit Belegen aus den Daten (Likelihood) zu einer neuen Verteilung über θ.

Interpretation und Eigenschaften: Die Posteriorverteilung beschreibt die aktualisierten Überzeugungen über θ nach dem Datenmaterial. In Fällen konjugierter Priors ergeben sich oft analytische Formen der Posteriorverteilung; ansonsten erfolgen Berechnungen numerisch mittels MCMC, Importance Sampling oder Variational Inference. Typische Kenngrößen aus der Posteriorverteilung sind der Erwartungswert, der Median oder der Modus (MAP), sowie Credible Intervals, die den Unsicherheitsbereich für θ geben.

Anwendungen und Erweiterungen: Die Posteriorverteilung dient der Parameterschätzung, Modellbewertung und Vorhersage. Die posteriore Vorhersageverteilung für neue Beobachtungen ergibt sich aus P(y_new|D) = ∫ P(y_new|θ) P(θ|D) dθ. Konkrete Beispiele konjugierter Paarungen sind Beta-Bernoulli, Gamma-Poisson und Normal-Normal. Die Posteriorverteilung ist damit zentrales Element der Bayesschen Inferenz.