Bayesschen

Bayessche Statistik, oft auch Bayessche Inferenz genannt, bezieht sich auf einen Ansatz in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, der Bayes' Theorem verwendet, um Wahrscheinlichkeiten als Maße des subjektiven Glaubens zu interpretieren und mit neuen Daten zu aktualisieren.

Kernidee ist die Kombination von Vorwissen (Prior) mit der Wahrscheinlichkeitslage der beobachteten Daten (Likelihood) zu einer aktualisierten Überzeugung (Posterior). Bayes' Theorem besagt, dass Posterior proportional zur Likelihood multipliziert mit dem Prior ist; im Detail P(θ|D) ∝ P(D|θ) P(θ).

Historisch geht der Begriff auf Thomas Bayes zurück; weiterentwickelt wurde er von Laplace und in der modernen Statistik durch formale Wahrscheinlichkeitsmodelle und Axiome der Wahrscheinlichkeit verstetigt. Zentrale Elemente sind Prior-Verteilungen, Likelihood-Funktion und Posterior-Verteilungen; oft kommen konjugierte Priors, hierarchische Modelle und Bayes-Netzwerke zum Einsatz. Zur Berechnung der Posterior-Verteilungen kommen numerische Methoden wie Markov-Ketten-Monte-Carlo (MCMC) oder Variationsinferenz zum Einsatz.

Anwendungen finden sich in Medizin, Biostatistik, Finanzen, Robotik, maschinellem Lernen und Datenanalyse. Typische Beispiele: medizinische Diagnosen, Spam-Filter, adaptive A/B-Tests, zeitabhängige Schätzung mit Kalman-Filtern.

Im Vergleich zu frequentistischen Ansätzen liefern Bayessche Methoden probabilistische Aussagen über Parameter und explizite Unsicherheiten; sie ermöglichen die systematische Einbeziehung von Vorwissen. Herausforderungen sind die Subjektivität der Priors, Empfindlichkeit gegenüber Vorannahmen und hoher Rechenaufwand bei komplexen Modellen.