PriorVerteilungen

PriorVerteilungen beschreiben die a priori-Vorstellungen über die Werte eines unbekannten Parameters, bevor Daten beobachtet werden. Eine Prior-Verteilung ordnet dem Parameter eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zu und bildet zusammen mit der Likelihood die Posterior-Verteilung nach Bayes' Theorem: Posterior proportional zur Likelihood multipliziert mit der Prior.

Zu den Kategorien gehören informative Priors, nichtinformative bzw. schwach informative Priors und robuste Priors. Informative Priors spiegeln Fachwissen wider, nichtinformative Priors zielen darauf ab, das Vorwissen weitgehend zu minimieren, und robuste Priors sollen Ergebnisse gegen starke Annahmenempfindlichkeit absichern.

Gängige Familien sind Beta-Verteilung für Bernoulli/Binomial, Gamma- oder Inverse-Gamma-Verteilungen für Poisson- oder Exponentialmodelle, Normalverteilungen bei unbekanntem Mittelwert oder Varianz; Dirichlet-Verteilung für mehrdimensionale diskrete Modelle; Normal-Gamma bzw. Normal-Inverse-Gamma als konjugate Priors bei Normalmodellen mit unbekanntem Mittelwert und Varianz. Konjugate Priors ermöglichen geschlossene Posteriorformen, was die Berechnung erleichtert.

Prior-Eichung und Robustheit: Die Wahl der Priors kann insbesondere bei kleinem Stichumfang die Posterioren stark beeinflussen. Prinzipien der Prior-Auswahl umfassen Referenzprioren, Jeffreys' Prioren, Maximum-Entropy-Prioren und hierarchische Priors, die Informationen über Gruppen teilen.

Praktische Anwendung: Priors sind integraler Bestandteil des Modellaufbaus; in hierarchischen Modellen dienen sie auch als Hyperparameter. Posteriorvorhersagen entstehen durch Integration über die Posterior-Verteilung; Modellvergleich kann Bayes-Faktoren oder priorkompatible Informationskriterien verwenden. Transparente Offenlegung der Priorannahmen ist üblich.