Exponentialmodelle

Exponentialmodelle bezeichnen Prozesse, bei denen eine Größe mit einer konstanten relativen Veränderungsrate wächst oder zerfällt. In der kontinuierlichen Zeitform lautet die Grundform y(t) = y0 · e^{k t}, während im diskreten Zeitverlauf y_t = y0 · q^t gilt. Beide Formen beschreiben eine monokausale Dynamik, bei der der Anteil der Veränderung proportional zum aktuellen Wert ist. Die Parameter k bzw. q bestimmen Wachstums- oder Zerfallsrate bzw. das pro-Periode-Wachstumsfaktor; y0 ist der Anfangswert.

Die Modelle lassen sich in einer logarithmischen Darstellung linearisieren: ln y(t) = ln y0 + k t für das kontinuierliche Modell bzw. ln y_t = ln y0 + t ln q im diskreten Fall. Dadurch ermöglichen sie einfache Schätzung mittels linearer Regression auf log-transformierten Daten; alternativ erfolgt eine nichtlineare Anpassung an das Originalmodell. Typische Annahmen sind konstant bleibende Relativraten und kein Ressourcenlimit, was die Gültigkeit zeitlich begrenzt.

Einschränkungen und Hinweise zur Anwendung: Exponentialmodelle eignen sich gut als Basis- oder Nullmodell, etwa bei frühem Wachstum, Zinseszins-Szenarien oder radioaktivem Zerfall, doch sie können bei langfristiger Dynamik misslingen, wenn Ressourcenknappheit greift (was zu logistischer Ausbreitung führt). Daten mit Nullwerten oder stark heteroskedastischen Residuen erfordern spezielle Behandlung. Häufig werden Mehrfach-Exponentialmodelle oder andere nichtlineare Modelle verwendet, um mehrphasige Prozesse abzubilden.