linearisieren

Linearisieren bezeichnet die Methode, ein nichtlineares Modell durch ein lineares Modell in der Umgebung eines Referenzpunkts zu approximieren. Ziel ist es, komplexe Zusammenhänge handhabbar zu machen und Analysen sowie Entwurfsverfahren zu vereinfachen.

Mathematisch basiert die Linearisierung auf der Taylorentwicklung. Für eine skalare Funktion f: R -> R gilt die lineare Approximation f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0). Im mehrdimensionalen Fall f: R^n -> R^m verwendet man die lineare Annäherung f(x) ≈ f(x0) + J_f(x0)(x - x0), wobei J die Jacobi-Matrix ist. Der dabei entstehende Fehler ist in der Regel von Ordnung O(||x - x0||^2).

In dynamischen Systemen wird eine lineare Näherung um einen Betriebspunkt (x0, u0) oft verwendet. Gegeben sei x' = f(x, u). Die linearisierte Form lautet δx' = A δx + B δu, mit A = ∂f/∂x|_(x0,u0) und B = ∂f/∂u|_(x0,u0). Die linearisierte Darstellung gilt für kleine Abweichungen um den Punkt und ermöglicht die Analyse von Stabilität, Reaktion und Regelbarkeit.

Anwendungen finden sich vor allem in der Regelungstechnik, der Systemidentifikation, Optimierung und der Modellierung komplexer Systeme. Linearisierung dient dort der Vereinfachung von Entwurf, Simulation und Verständnis lokaler Dynamik. Sie ist eine lokale, nicht globale Approximation und kann bei größeren Abweichungen ungenau oder irreführend sein; in solchen Fällen greifen höhere Ordnungen oder alternative Modelle.

Beispiel: Die Funktion y = x^2 wird um x0 = 2 linearisiert zu y ≈ y0 + y'(x0)(x - x0) = 4 + 4(x - 2) = 4x - 4.

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