Regelbarkeit

Regelbarkeit, im Deutschen oft als Controllability bezeichnet, beschreibt in der Regelungstechnik die Eigenschaft eines Systems, vom Anfangszustand aus jeden gewünschten Endzustand über zulässige Eingaben erreichen zu können. Sie ist eine zentrale Voraussetzung für die Gestaltung von Zustandsregelungen und Zustandsteuerungen.

Für lineare zeitinvariante Systeme der Form ẋ = A x + B u (mit x als Zustandsvektor, u als Eingangsvektor) bedeutet Regelbarkeit, dass der Zustandsraum vollständig durch eine passende Eingabe beeinflusst werden kann. Kriterien hierfür sind der Kalman-Kriterium und die Rangbedingung: das Kontrolldichte-Matrix-Konstrukt [B AB A^2B … A^{n-1}B] muss die volle Rangordnung n besitzen (n ist die Dimension von x). Alternativ genügt die Positive Definitheit der Kontrolldimensional-Grammian Wc(t0) für ein t0 > 0.

Auswirkungen und Anwendungen: Ist ein System regelbar, kann man durch geeigneten Zustandsfeedback-Entwurf (z. B. Polplatzierung) dieSystempole beliebig positionieren. Nicht regelbare Zustandsrichtungen bleiben unkontrollierbar und können durch Eingaben nicht beeinflusst werden; das System lässt sich auf die sogenannte kontrollierbare Teilmenge des Zustandsraums reduzieren. In Praxis bedeutet dies, dass Regelbarkeit eine notwendige Bedingung für stabile, leistungsfähige Regelsysteme ist.

Ein einfaches Beispiel ist das Doppel-Integrator-System, das mit der Eingabe u direkt den Geschwindigkeits- bzw. Positionzustand beeinflusst und somit regelbar ist.

Bei nichtlinearen Systemen wird Regelbarkeit oft als lokale oder globale Regelbarkeit bezeichnet; hier ersetzt man lineare Kriterien durch linearisierte Modelle oder verallgemeinerte Konzepte wie die Lie-Berg-Kriterien.