Zustandsvektor

Zustandsvektor ist ein mathematischer Vektor, der den Zustand eines Systems zu einem gegebenen Zeitpunkt vollständig beschreibt. Der Begriff wird in verschiedenen Bereichen verwendet, wobei die konkrete Bedeutung von der zugrunde liegenden Theorie abhängt. In der Quantenmechanik bezeichnet der Zustandsvektor typischerweise den reinen Zustand eines Quantensystems und wird als Ket |ψ⟩ in einem Hilbertraum dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit, ein Messergebnis zu erhalten, ergibt sich aus dem Bornschen Regel: Die Wahrscheinlichkeit des Zustands φ ist P(φ) = |⟨φ|ψ⟩|^2. Der Zustandsvektor entwickelt sich zeitabhängig gemäß der Schrödinger-Gleichung: iħ d/dt|ψ(t)⟩ = H|ψ(t)⟩, wobei H der Hamiltonoperator ist. Er ist normiert, ⟨ψ|ψ⟩ = 1, und Messungen können zum Kollaps der Zustandsdarstellung führen.

In der Regelungstechnik und in der klassischen Dynamik dient der Zustandsvektor x(t) dazu, den Zustand eines dynamischen Systems in kompaktester Form zu repräsentieren. Typischerweise besteht x aus n Variablen wie Position, Geschwindigkeit oder Konzentrationen. Die zeitliche Entwicklung lässt sich durch die Zustandsgleichung dx/dt = Ax + Bu und eine Ausgangsgleichung y = Cx + Du beschreiben. Die Modellierung durch Zustandräume ermöglicht die Analyse von Stabilität, Regelbarkeit und Beobachtbarkeit sowie die Implementierung von Zustandsreglern und Beobachtern. Die Wahl der Zustandsvariablen erfolgt oft so, dass die Systemdynamik einfach beschrieben wird; Koordinentransformationen ändern die Darstellung, nicht die zugrundeliegende Physik.

Im Unterschied zur Quantenmechanik werden in der klassischen Sichtweise Wahrscheinlichkeiten nicht direkt durch einen reinen Zustandvektor beschrieben, sondern durch Messgrößen und Rauschmodelle. Für gemischte Zustände in der Quantenmechanik verwendet man die Dichtematrix ρ; ein reiner Zustand entspricht ρ = |ψ⟩⟨ψ|. Die Erwartungswerte eines Observables A ergeben sich als ⟨A⟩ = Tr(ρA).

Siehe auch: Hilbertraum, Schrödinger-Gleichung, Zustandsraummodell, Zustandsschätzung, Zustandssicht.