Zustandsraummodell

Ein Zustandsraummodell ist eine mathematische Darstellung dynamischer Systeme, die den Systemzustand durch einen Vektor x beschreibt und Eingaben sowie Ausgaben über geeignete Gleichungen miteinander verknüpft. Im Gegensatz zu rein eingangs- und ausgangsorientierten Beschreibungen ermöglicht der Zustandsraum Ansatz eine kompakte Repräsentation innerer Dynamiken, lässt sich gut simulieren, analysieren und für Regelungsaufgaben nutzen. Er gilt sowohl für kontinuierliche als auch für diskrete Zeitverläufe.

Das Standardmodell besteht aus zwei Gleichungen. Im diskreten Zeitbereich lautet es: x_{k+1} = A x_k + B u_k + w_k, y_k = C x_k + D u_k + v_k. Im kontinuierlichen Fall: dx/dt = A x(t) + B u(t) + w(t), y(t) = C x(t) + D u(t) + v(t). Dabei ist x der Zustandsvektor, u der Eingangsvektor und y der Ausgangsvektor. Die Matrizen A, B, C und D definieren die Systemdynamik und die Eingangs-/Ausgangsbeziehungen. W and v stehen für Prozess- bzw. Messrauschen, meist als zufällige Größen mit Kovarianzen Q bzw. R.

Wichtige Eigenschaften sind Kontrolierbarkeit und Beobachtbarkeit: Kontrolierbarkeit beschreibt, ob der Zustand durch geeignete Eingänge beeinflusst werden kann; Beobachtbarkeit beschreibt, ob der Zustand aus den Messausgängen rekonstrukt werden kann. Diese Eigenschaften bestimmen die Machbarkeit von Reglern und Beobachtern.

Anwendungen und Nutzen: Zustandsraummodelle ermöglichen Zustandsschätzung (z. B. Kalman-Filter), Regelungsentwurf, Simulation und modellbasierte Optimierung (z. B. Model Predictive Control). Sie lassen sich aus Differentialgleichungen ableiten, transformieren oder identifizieren und auch auf nichtlineare Systeme durch Linearisierung oder erweiterte Zustandsmodelle anwenden.