zeitinvariante

Zeitinvarianz, oder die Eigenschaft zeitinvarianter Systeme, ist ein zentraler Begriff in der Signalverarbeitung. Ein System ist zeitinvariant, wenn die Reaktion auf ein zeitlich verschobenes Eingangssignal zeitlich verschoben identisch zur ursprünglichen Reaktion bleibt. Kurz gesagt: Verschiebt man das Eingangssignal um t0, verschiebt sich der Ausgang um dieselbe Zeitspanne.

Formal gilt: Für jedes Eingangssignal x(t) und jede Verschiebung t0 gilt y(t) = S{x(t)} und S{x(t − t0)} = y(t − t0). In der diskreten Zeit entsprechend: S{x[n − k0]} = y[n − k0] für alle n. Diese Bedingung bedeutet, dass das System keine Abhängigkeit von dem absoluten Zeitpunkt hat, zu dem ein Signal eingegeben wird.

Zeitinvarianz spielt eine zentrale Rolle bei der Analyse von LTI-Systemen (linear, zeitinvariant). Für solche Systeme lässt sich der Ausgang durch Faltung darstellen: y(t) = x(t) convolved with h(t), wobei h(t) die Impulsantwort S{δ(t)} ist. Im diskreten Fall gilt y[n] = x[n] * h[n].

Beispiele: Ein konstanter Verstärker y(t) = a x(t) ist zeitinvariant, solange a zeitlich konstant ist. Eine feste Verzögerung y(t) = x(t − τ) ist ebenfalls zeitinvariant. Systeme mit zeitlich variierenden Parametern, etwa y(t) = a(t) x(t) oder time-varying filter coefficients, sind nicht zeitinvariant.

Zeitinvarianz betrifft das System selbst, nicht die Eingaben. Sie erleichtert Frequenzanalyse, Modellbildung und Rechenverfahren wie die Faltung, und unterscheidet sich von der statistischen Stationarität von Signalen.