Faltung

Faltung, auch Konvolution genannt, ist in der Mathematik und Signalverarbeitung eine bilineare Operation zweier Funktionen f und g, die eine neue Funktion h = f*g ergibt. Im kontinuierlichen Fall definiert man

h(t) = ∫_{-∞}^{∞} f(τ) g(t−τ) dτ,

wobei geeignete Integrabilitäts- und Stetigkeitsannahmen erfüllt sind. Im diskreten Fall lautet die Definition

h[n] = ∑_{k=-∞}^{∞} f[k] g[n−k].

Die Faltung beschreibt die Überlagerung von f mit einer zeitlich verschobenen (und ggf. gespiegelten) Version von g; sie modelliert das Ausgangssignal eines linearen zeitinvarianten Systems mit Impulsantwort g, wenn der Eingangsimpuls f gegeben ist.

Eigenschaften: Sie ist kommutativ (f*g = g*f), assoziativ (f*(g*h) = (f*g)*h) und distributiv gegenüber der Addition. Das Einselement ist das Dirac-Delta δ, da f*δ = f. Durch Verschiebung gilt: Wird f um t0 verschoben, verschiebt sich das Faltungsergebnis entsprechend.

Transformationsbezug: Die Faltung erfüllt den Faltungssatz: Unter geeigneten Transformationen gilt F{f*g} = F{f} · F{g} (z. B. Fourier- oder Laplace-Transform). Im diskreten Fall erfolgen ähnliche Aussagen über die diskrete Fourier- oder Z-Transformation. Die Faltung lässt sich auch als Integral bzw. Summe der Überlappung zweier Funktionen interpretieren.

Anwendungen: Filterung und Glättung von Signalen, Rauschunterdrückung, Bildverarbeitung (Weichzeichnen, Kantenfiltration) und in der Lösung von Differentialgleichungen über Green-Funktionen. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ergibt das Falten zweier Verteilungen die Verteilung der Summe zweier unabhängiger Zufallsvariablen.

Unterschied zur Kreuzkorrelation: Bei der Faltung wird eine Funktion gespiegelt, während bei der Korrelation diese Spiegelung entfällt.