Kreuzkorrelation

Kreuzkorrelation ist eine statistische Größe, die Ähnlichkeiten oder Abhängigkeiten zwischen zwei Signalen oder Zufallsprozessen in Abhängigkeit von ihrer zeitlichen Verschiebung beschreibt. Sie wird häufig verwendet, um Übereinstimmungen, Verschiebungen oder Muster in fremden Signalen zu erkennen, etwa bei der Synchronisation, Mustererkennung oder Bildregistrierung.

Für diskrete Signale x[n] und y[n] wird die Kreuzkorrelation als R_xy[m] = ∑_n x[n] y[n+m] definiert, wobei m die Verschiebung angibt. Für kontinuierliche Signale x(t) und y(t) lautet sie R_xy(τ) = ∫ x(t) y(t+τ) dt. Die Kreuzkorrelation ist eng mit der Faltung verbunden: R_xy = x * y_rev, wobei y_rev die Spiegelung von y ist. Es gilt R_yx(-τ) = R_xy(τ). Bei stationären Prozessen hängt R_xy nur von der Verzögerung τ ab und liefert eine Messgröße der gemeinsamen Struktur beider Signale.

Normalisierung und Interpretation: Um die Skala der Werte zu entfernen, kann die normalisierte Kreuzkorrelation (Korrektionskoeffizient) ρ_xy(τ) = R_xy(τ) / sqrt(R_xx(0) R_yy(0)) verwendet werden. Dadurch liegen die Werte typischerweise im Bereich [-1, 1]. Schätzungen aus endlichen Daten erfolgen als Stichproben-Kreuzkorrelation; dazu ist oft erforderlich, Mittelwerte zu subtrahieren (demean), um Bias durch Nicht-Null-Durchschnitt zu vermeiden.

Anwendungen reichen von Signalverarbeitung, Kommunikation und Spracherkennung bis hin zu Bildverarbeitung (Template Matching) und geophysikalischen Messungen. Wichtige Hinweise betreffen Nicht-Stationarität, Rauschen und die Wahl der Referenzsignale; effiziente Berechnungen nutzen oft die FFT-basierte Implementierung.