Stetigkeitsannahmen

Stetigkeitsannahmen beziehen sich auf Annahmen über die Stetigkeit von Funktionen, Prozessen oder Verteilungsgrößen in mathematischen Modellen. Sie dienen dazu, Grenzprozesse, den Austausch von Limiten mit Integralen oder Summen sowie Existenz- und Stabilitätsresultate zu rechtfertigen.

In der Analysis wird eine Funktion als stetig bezeichnet, wenn kleine Änderungen der Eingabe zu kleinen Änderungen des Funktionswerts führen. Zu den Stetigkeitsarten zählen punktweise Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit; auf kompakten Mengen folgt der Extremwertsatz und Stetigkeit erleichtert Integrations- und Differentiationsregeln. Oft benötigt man stärkere Annahmen wie Lipschitz-Stetigkeit, um Quantitäten eindeutig zu kontrollieren.

Im Wahrscheinlichkeitswesen und in der Statistik spielen Stetigkeitsannahmen eine zentrale Rolle. Stetige Verteilungsfunktionen bedeuten eine glatte Verteilung ohne Sprünge; bei stochastischen Prozessen kann Stetigkeit der Pfade gefordert werden (z. B. Brown'sche Bewegung). Die Kontinuität von Modellen, Likelihood-Funktionen oder Schätzern ermöglicht Konsistenz- und Stetigkeitsargumente in der asymptotischen Theorie und erleichtert den Grenzwertübergang.

Praktisch helfen Stetigkeitsannahmen bei der Begründung der Existenz von Optima, der Lösung von Differentialgleichungen und der Stabilität von numerischen Verfahren. Sie können jedoch zu streng sein; realweltliche Systeme zeigen oft Sprünge oder Diskontinuitäten. Dann werden oft schwächere Annahmen wie Messbarkeit, lokale Stetigkeit oder Stückweise Stetigkeit verwendet, oder es werden Modelle gewählt, die Sprünge abbilden.