Messbarkeit

Messbarkeit bezeichnet in der Maßtheorie und Wahrscheinlichkeit die Eigenschaft einer Funktion oder einer Menge, im Rahmen einer gegebenen Maßstruktur sinnvoll erfasst zu werden. Gegeben ist ein Messraum (X, Σ, μ) mit einer σ-Algebra Σ auf X und einer Maßfunktion μ. Eine Teilmenge A ⊆ X ist genau dann messbar, wenn A ∈ Σ. Eine Funktion f: X → Y heißt messbar, wenn das Urbild jeder messbaren Menge in Y wieder messbar in X ist. Je nach Y und dessen σ-Algebra unterscheidet man verschiedene Arten von Messbarkeit, z. B. Borel- oder Lebesgue-Messbarkeit.

Bei Realwertfunktionen f: X → R gilt als häufiges Kriterium: f ist messbar, wenn f^{-1}((-∞, t]) ∈ Σ für alle reellen t. Alternative Kriterien nutzen Erzeugungsmengen wie die Borel-σ-Algebra. Äquivalente Formulierungen existieren, z. B. dass die Vorbilder für alle offenen Mengen oder alle abzählbar erzeugten Mengen messbar sind.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist eine Zufallsvariable eine messbare Funktion von einem Wahrscheinlichkeitsraum in R mit der Borel-σ-Algebra. Eigenschaften: Die Summe, das Produkt oder die Komposition zulässiger messbarer Funktionen ist wieder messbar; Punktweise Grenzwerte von messbaren Funktionen sind ebenfalls messbar, insbesondere unter bestimmten Konvergenz- bzw. Bedingungsbedingungen.

Messbarkeitstypen: Borel-Messbarkeit bezieht sich auf die Borel-σ-Algebra der reellen Zahlen; Lebesgue-Messbarkeit bezieht sich auf die Lebesgue-σ-Algebra. Die Menge der messbaren Funktionen hängt vom gewählten Messraum ab. Nicht-messbare Mengen existieren unter dem Axiom der Wahl (z. B. Vitali-Mengen); ihr Vorhandensein zeigt, dass Messbarkeit nicht automatisch gegeben ist. Messbarkeit bildet die Grundlage der Integration und der Wahrscheinlichkeit.