Wahrscheinlichkeitsraum

Wahrscheinlichkeitsraum, auch probabilistischer Raum genannt, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein Triple (Ω, F, P). Dabei ist Ω die Ergebnismenge (der Stichprobenraum), F eine σ-Algebra von Teilmengen von Ω und P eine Wahrscheinlichkeitsmaßfunktion P: F → [0, 1] mit P(Ω) = 1 und abzählbarer Additivität: Für jede Folge von paarweise disjunkten Ereignissen A_i in F gilt P(⋃_i A_i) = Σ_i P(A_i). F enthält insbesondere alle beobachtbaren Ereignisse und ist abgeschlossen unter Vereinigung, Schnitt und Komplement.

Dieses formale Gerüst ermöglicht die Definition von Zufallsgrößen X: Ω → R, die bezüglich F messbar sind. Die Verteilung einer Zufallsgröße, der Erwartungswert E[X] sowie weitere Kenngrößen wie Varianz ergeben sich aus Integralen bzw. Summen in Abhängigkeit von P. Typische Beispiele sind der faire Münzwurf oder der Würfelwurf, bei denen Ω endlich ist und F oft die Potenzmenge von Ω bildet; P ordnet den Elementen Wahrscheinlichkeiten zu, z. B. 1/2 für Kopf bzw. Zahl im fairen Münzwurf.

Wichtige Konzepte im Wahrscheinlichkeitsraum sind Unabhängigkeit (P(A ∩ B) = P(A)P(B) für Ereignisse A, B), bedingte Wahrscheinlichkeiten P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) (falls P(B) > 0) sowie Konstrukte wie Verteilungen, Verteilungsfunktionen und Konvergenz von Zufallsgrößen. Der Wahrscheinlichkeitsraum bildet die formale Grundlage für Theorie und Anwendungen der Statistik, Physik, Informatik und Ökonomie.