Maßfunktion

Maßfunktion ist in der Mathematik ein Begriff der Maßtheorie und bezeichnet eine Funktion, die jedem Teil eines Grundraums eine nichtnegative Zahl zuordnet und damit einen Maß misst. In der modernen Fachsprache wird überwiegend von einem Maß gesprochen; die Bezeichnung Maßfunktion kommt vor allem in älteren Texten oder in bestimmten Kontexten vor, wird aber noch gelegentlich synonym verwendet.

Formale Definition: Sei X ein Nichtlebesgue-Skalarraum und Σ eine σ-Algebra von Teilmengen von X. Eine Maßfunktion μ ist eine Abbildung μ: Σ → [0, ∞], die die Eigenschaften μ(∅) = 0 und Abzählbarkeit Additivität erfüllt, d. h. μ(⋃i Ai) = ∑i μ(Ai) für jede Folge disjunkter Mengen Ai ∈ Σ. Ist μ(X) endlich, spricht man von einem endlichen Maß, ist μ(X) unbeschränkt, handelt es sich um ein σ-endliches oder unendliches Maß entsprechend.

Beispiele: Die Lebesgue-Maßfunktion auf dem reellen Zahlenraum ist das standardmäßige Maß, das die Länge von Intervallen widerspiegelt. Die Zählmaßfunktion ordnet jeder endlichen oder unendlichen Teilmenge die Anzahl der Elemente zu. Das Dirac-Maß δx0 misst Massenanteile ausschließlich an der Stelle x0.

Konstruktion und Eigenschaften: Ein Maß kann aus einem äußeren Maß mittels des Carathéodory-Ansatzes auf eine σ-Algebra erweitert werden. Maße sind monoton und σ-additiv; sie können je nach Kontext weiter Eigenschaften wie Finite- oder σ-Endlichkeit besitzen und durch Completion verfeinert werden.

Verwandte Konzepte und Anwendungen: Ein f: X → Y ist μ-messbar, wenn die Gegenüberstellung der Urmeßstruktur zu Y gilt. Maße dienen in der Wahrscheinlichkeit als Wahrscheinlichkeitsmaße (μ(X)=1) und in der Integration als Grundlage für das Integral ∫ f dμ. In der Geometrie und Analysis finden sich weitere Maßkonzepte wie die Haarmaße auf Gruppen.

Hinweis zur Nomenklatur: Im heutigen Deutsch wird überwiegend von Maß bzw. messbare Funktion gesprochen; die Bezeichnung Maßfunktion ist stilistisch älter oder spezifisch in bestimmten Teilgebieten geläufig.