Haarmaße

Haarmaß, benannt nach Alfréd Haar, ist ein nicht-triviales linksinvariantes Maß auf einer lokal kompakten Gruppe G (Hausdorff). Es handelt sich um ein reguläres Borelmaß, das auf kompakten Mengen endlich ist und damit die Integration über die Gruppe ermöglicht. Für jede lokal kompakten, hausdorff-GRuppe existiert ein solches Maß, und es ist eindeutig bis zur positiven Skalierung. Wenn G kompakt ist, lässt sich das Maß so normalisieren, dass μ(G)=1, wodurch ein Wahrscheinlichkeitsmaß entsteht. Für nicht kompakte Gruppen hat das Haarmaß oft unendliches Gesamtmaß.

Links- und Rechtsinvarianz sowie modulare Funktion: Das Haarmaß ist linksinvariant, das heißt μ(gE)=μ(E) für alle g in G und alle messbaren Mengen E ⊆ G. Es existiert auch ein Rechts-Haarmaß ν, das rechtsinvariant ist (μ(Eg)=μ(E)). Im Allgemeinen unterscheiden sich linkes und rechtes Haarmaß; ihre Beziehung wird durch die moduale Funktion Δ: G → (0, ∞) beschrieben, sodass μ(Eg)=Δ(g)μ(E). Die Gruppe ist unimodular, wenn Δ≡1, dann stimmen linkes und rechtes Haarmaß überein.

Beispiele: Auf der additiv geschriebenen Gruppe G = R^n entspricht das Haarmaß dem gewöhnlichen Lebesgue-Maß. Die Kreisgruppe T = {z in C : |z|=1} besitzt das Haarmaß, das dem arclength-Maß entspricht; da T kompakt ist, lässt es sich zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß normalisieren. Endliche Gruppen erhalten das Zählmaß (bis auf Skalierung eine Haarmaß-Option).

Verwendungen: Haarmaß dient der Integration über Gruppen, der Definition von Faltung (Convolution), der harmonischen Analyse und der Repräsentationstheorie auf Gruppen. Es bildet die Grundlage für viele Anwendungen in Mathematik, Physik und Wahrscheinlichkeit.