Wahrscheinlichkeitsmaß

Wahrscheinlichkeitsmaß P ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine sigma-additive Abbildung von einer Sigma-Algebra F des Ergebnisraums Ω auf das Intervall [0,1]. Es ordnet jedem Ereignis A ∈ F die Wahrscheinlichkeit P(A) zu, wobei P(Ω)=1 und P(∅)=0 gilt; für abzählbar viele paarweise disjunkte Ereignisse A1, A2, ... in F gilt P(∪_{i≥1} A_i)=∑_{i≥1} P(A_i).

Dieses Axiomensystem, bekannt als Kolmogorov-Axiome, bildet die formale Grundlage der modernen Wahrscheinlichkeit. Es ermöglicht die Definition von Verteilungen und Integrationen. Die Verteilung einer Zufallsvariable X wird durch das Maß P_X(B)=P(X∈B) auf den Borelmengen B beschrieben. Die Verteilungsfunktion F_X(x)=P(X≤x) fasst diese Verteilung zusammen. Beispiele: Bernoulli-Verteilung mit P({1})=p, P({0})=1-p; Gleichverteilung auf dem Intervall [0,1]; die Normalverteilung als Maß mit der entsprechenden Dichte.

Wahrscheinlichkeitsmaße erlauben auch die Konstruktion aus Funktionen (Push-forward-Maß) und Begriffe wie Unabhängigkeit: A,B ∈ F sind unabhängig, wenn P(A∩B)=P(A)P(B). Erwartungswert und Varianz werden als Integrale bzw. Summen definiert: E[X]=∫ X dP; in diskreten Fällen E[X]=∑ x_i P({ω: X(ω)=x_i}).