PushforwardMaß

PushforwardMaß, in der Maßtheorie oft als Pushforwardmaß bezeichnet, ist ein Maß auf dem Zielraum, das aus einem Maß μ auf dem Quellraum durch eine messbare Abbildung f: X → Y gebildet wird. Für jedes messbare B ⊆ Y gilt der Bild- bzw. Pushforwardwert (f_* μ)(B) = μ(f^{-1}(B)). Damit ist f_* μ ein Maß auf dem Zielraum, und wenn μ eine Wahrscheinlichkeitsmaß ist, so ist auch f_* μ eine Wahrscheinlichkeitsmaß.

Voraussetzungen und Notation: Man arbeitet mit messbaren Räumen (X, Σ_X) und (Y, Σ_Y) sowie einer messbaren Abbildung f. Dann definiert f_* μ auf (Y, Σ_Y) durch die oben genannte Gleichung. In vielen Anwendungen, insbesondere in der Wahrscheinlichkeitstheorie, ist μ oft ein Wahrscheinlichkeitsmaß.

Eigenschaften und Formeln: Das Pushforwardmaß ist sigma-additiv, nichtnegativ und erfüllt insgesamt μ(Y) = (f_* μ)(Y). Eine zentrale Change-of-Variables-Beziehung lautet: Für jede nichtnegativ messbare Funktion g: Y → [0, ∞) gilt ∫_Y g(y) d(f_* μ)(y) = ∫_X g(f(x)) dμ(x). Dadurch lassen sich Integrale über das Ziel mit Integralen über den Ursprung verknüpfen. Die Abbildungspflege ist kompositionskompatibel: Für eine weitere messbare Abbildung g: Y → Z gilt (g ∘ f)_* μ = g_* (f_* μ).

Beispiel: Sei X = R mit der Borel-σ-Algebra und μ die Lebesgue-Maß. Definiere f(x) = x^2. Dann ist f_* μ ein Maß auf [0, ∞) mit F(t) = μ({x: x^2 ≤ t}) = 2√t und damit eine Dichte von 1/√t für t > 0 (theoretisch, bezogen auf entsprechende Integrationsregeln). Allgemein spielt das Pushforwardmaß eine zentrale Rolle bei der Beschreibung der Verteilung von Zufallsvariablen und in der Geometrie sowie der optimalen Transporttheorie.