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KalmanFiltern

KalmanFiltern ist ein rekursiver Schätzalgorithmus zur Bestimmung des Zustands eines linearen dynamischen Systems aus Messungen, die Rauschen enthalten. Er liefert schrittweise aktualisierte Schätzwerte, ohne die komplette Historie der Messungen zu speichern.

Das übliche Modell umfasst einen Zustand x_k, Eingaben u_k und Messungen z_k. Der Zustandsübergang folgt x_k =

Vor der Aktualisierung führt der KalmanFiltern eine Vorhersage durch: x_{k|k-1} = F x_{k-1|k-1} + B u_{k-1}, P_{k|k-1} = F

Varianten umfassen den Extended Kalman Filter EKF für nichtlineare Modelle, der die Modelle linearisiert; den Unscented

Anwendungen finden sich in Navigation, Robotik, Luft- und Raumfahrt sowie Mess- und Finanzdaten. Vorteile sind die

Der KalmanFiltern wurde von Rudolf E. Kalman in den 1960er Jahren eingeführt und ist seither eine zentrale

F
x_{k-1}
+
B
u_{k-1}
+
w_{k-1},
die
Messung
z_k
=
H
x_k
+
v_k,
wobei
w_k
und
v_k
gaußsche
Zufallsvektoren
mit
Kovarianzen
Q
bzw.
R
sind.
P_{k-1|k-1}
F^T
+
Q.
Danach
wird
der
Kalman-Gain
K_k
berechnet:
K_k
=
P_{k|k-1}
H^T
(H
P_{k|k-1}
H^T
+
R)^{-1}.
Das
neue
Schätzergebnis
lautet:
x_{k|k}
=
x_{k|k-1}
+
K_k
(z_k
-
H
x_{k|k-1})
und
die
Fehlerkovarianz
P_{k|k}
=
(I
-
K_k
H)
P_{k|k-1}.
Kalman
Filter
UKF,
der
Sigma-Punkte
verwendet;
und
das
Ensemble
Kalman
Filter
EnKF,
das
Monte-Carlo-Simulationen
nutzt.
Alle
zielen
darauf
ab,
nichtlineare
Probleme
besser
abzubilden.
optimale
Schätzung
unter
linearen
Gaußbedingungen
und
die
effiziente,
rekursive
Verarbeitung
in
Echtzeit.
Grenzen
entstehen
bei
starken
Nichtlinearitäten,
nicht-Gaussverteilungen,
falsch
geschätzten
Modellparametern
sowie
Stabilitäts-
und
Tuning-Anforderungen.
Methode
in
Wissenschaft
und
Technik.