Zufallsvektoren

Zufallsvektor X = (X1, ..., Xd) ist eine mehrdimensionale Zufallsgröße. Jedes Xi ist eine Zufallsvariable von Ω nach R, und alle Xi sind auf dem selben Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) definiert. Die gemeinsame Verteilung des Vektors beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass der Vektor bestimmte Werte annimmt; formal lässt sie sich durch die Verteilungsfunktion F_X(x) = P(X1 ≤ x1, ..., Xd ≤ xd) oder durch eine Dichte f_X, falls vorhanden, angeben. Marginalverteilungen erhält man durch Projektion auf die Einträge.

Zu den zentralen Größen gehören der Erwartungswert E[X] = (E[X1], ..., E[Xd]) und die Kovarianzmatrix Σ mit Σij = Cov(Xi, Xj) = E[(Xi − E[Xi])(Xj − E[Xj])]. Unabhängigkeit der Komponenten Xi bedeutet, dass die gemeinsame Verteilung das Produkt der Marginalverteilungen ist. Abhängigkeiten werden durch die Struktur von Σ oder durch Abhängigkeiten zwischen den Komponenten beschrieben; Copulas ermöglichen eine Trennung der Randverteilungen von der Abhängigkeit.

Verteilungen multivariater Zufallsvektoren umfassen den multivariaten Normalvektor, den multivariaten t-Vektor sowie Vektoren mit beliebigen Dichten oder Wahrscheinlichkeitsmaßen. Lineare Transformationen Y = AX + b führen zu neuen Verteilungen gemäß dem Pushforward der Verteilungsmaßnahme.

Verwendungen finden Zufallsvektoren in Statistik, Data Science, Finanzwesen (Portfoliotheorie, Risikomodellierung), Ingenieurwesen und Simulationen. Beispiel: Zwei normalverteilte Komponenten X1, X2 mit Mittelwerten μ1, μ2, Varianzen σ1^2, σ2^2 und dem Korrelationskoeffizienten ρ beschrieben die Kovarianz Cov(X1, X2) = ρ σ1 σ2.