Kovarianz

Kovarianz ist ein statistisches Maß, das die lineare Beziehung zwischen zwei stetigen Zufallsvariablen beschreibt. Sie gibt an, wie sich die beiden Variablen gemeinsam verändern: Ein positiver Kovarianzwert deutet auf eine Tendenz hin, dass beide Variablen gleichzeitig in die gleiche Richtung schwanken, während ein negativer Wert auf eine umgekehrte Beziehung hinweist. Ein Kovarianzwert von null impliziert, dass keine lineare Abhängigkeit zwischen den Variablen besteht.

Mathematisch wird die Kovarianz \( \mathrm{Cov}(X, Y) \) zwischen den Zufallsvariablen \( X \) und \( Y \) definiert als der Erwartungswert des Produkts der Abweichungen ihrer einzelnen Beobachtungen vom jeweiligen Mittelwert:

\[ \mathrm{Cov}(X, Y) = E[(X - E[X]) \cdot (Y - E[Y])] \]

Für eine Stichprobe mit \( n \) Datenpunkten \( (x_i, y_i) \) lautet die Formel:

\[ \mathrm{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) (y_i - \bar{y}) \]

wobei \( \bar{x} \) und \( \bar{y} \) die Stichprobenmittelwerte darstellen.

Die Kovarianz ist ein grundlegendes Konzept in der Statistik und wird häufig bei der Kovarianzmatrix verwendet, die die linearen Zusammenhänge zwischen mehreren Variablen zusammenfasst. Aufgrund ihrer Abhängigkeit von den Einheiten der Variablen ist die Kovarianz schwer vergleichbar. Um dies zu beheben, wird oft die Korrelationskoeffizient herangezogen, der die Kovarianz normiert.