Kovarianzwert

Der Kovarianzwert, auch Kovarianz genannt, bezeichnet in der Statistik die Kovarianz zwischen zwei Zufallsvariablen X und Y. Er gibt an, wie stark X und Y gemeinsam variieren. Formal ist der Kovarianzwert definiert als Cov(X,Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])]. Eine äquivalente Form lautet Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y], sofern die entsprechenden Erwartungswerte existieren.

In der Praxis wird der Kovarianzwert häufig aus Stichprobendaten geschätzt. Die Stichkovarianz zweier Merkmale X und Y in einer Stichprobe der Größe n lautet Sxy = (1/(n-1)) Σ (xi - x̄)(yi - ȳ), wobei x̄ und ȳ die Stichprobenmittelwerte sind. Die Stichvarianzen sind analog definiert, und die Kovarianzmatrix beschreibt die lineare Abhängigkeit mehrerer Variablen.

Eigenschaften des Kovarianzwerts schließen Symmetrie und Lineareigenschaften ein: Cov(X,Y) = Cov(Y,X) und Cov(aX + b, cY + d) = ac Cov(X,Y) für Konstanten a, b, c, d. Wenn X und Y unabhängig sind und finite Varianzen haben, gilt Cov(X,Y) = 0. Ein positiver Kovarianzwert bedeutet, dass X und Y tendenziell gleichzeitig ansteigen oder fallen, während ein negativer Kovarianzwert eine gegenläufige Entwicklung anzeigt. Die Größe des Kovarianzwerts hängt stark von der Skalierung der Variablen ab, weshalb der Korrelationskoeffizient r = Cov(X,Y)/(σX σY) oft verwendet wird, um die Stärke der linearen Beziehung grenzenlos zwischen -1 und 1 zu standardisieren.

In der multivariaten Statistik findet der Kovarianzwert in Form der Kovarianzmatrix Anwendung, die die Varianzen der einzelnen Variablen sowie ihre paarweisen Kovarianzen umfasst.