Zufallsvektor

Ein Zufallsvektor X ist eine messbare Abbildung von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) nach R^n. Er ordnet jedem ω ∈ Ω den Vektor X(ω) = (X1(ω), ..., Xn(ω)) zu, wobei die Komponenten Xi Zufallsvariablen sind. Damit besitzt X eine mehrdimensionale Verteilung, die das gemeinsame Verhalten der Komponenten beschreibt.

Die Verteilung eines Zufallsvektors wird als seine Verteilung oder als Gesetz von X bezeichnet. Sie ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Raum R^n, definiert durch P_X(B) = P(X^{-1}(B)) für B ⊆ R^n. Die gemeinsame Verteilungsfunktion F_X lautet F_X(x) = P(X1 ≤ x1, ..., Xn ≤ xn). Falls eine Dichte existiert, entspricht sie der gemeinsamen Dichte f_X, die mit f_X(x) als Integrand in den Integralen der Wahrscheinlichkeitsmassen verknüpft ist.

Erwartungswert und Varianzstruktur eines Zufallsvektors lassen sich komponentenweise definieren. Der Erwartungswert ist E[X] = (E[X1], ..., E[Xn]). Die Kovarianzmatrix Cov(X) = E[(X − E[X])(X − E[X])^T] ist eine n×n-Matrix, deren Einträge Cov(Xi, Xj) die Kovarianzen der jeweiligen Komponenten darstellen. Sie gibt Aufschluss über lineare Abhängigkeiten zwischen den Komponenten. Falls E[||X||] < ∞ gilt, besitzt X auch Momenten wie die zweite Ordnung; weitere Momente führen zu Momenten-Vektoren oder Zwangsverteilungen.

Transformationen und Unabhängigkeiten: Für eine messbare Abbildung g:R^n → R^m ergibt Y = g(X) einen neuen Zufallsvektor. Zwei Zufallsvektoren X und Z sind unabhängig, wenn ihre gemeinsame Verteilung das Produkt der Randverteilungen ist. Zufallsvektoren treten häufig in multivariaten Modellen, Korrelationstests und multivariaten Normalverteilungen auf.