Wahrscheinlichkeitsmassen

Wahrscheinlichkeitsmassen (Wahrscheinlichkeitsmassfunktion, PMF) beschreiben die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen X. Die Funktion p_X definiert sich auf einer abzählbaren Menge S, meist einem Teilmengen der ganzen Zahlen, und ordnet jedem möglichen Wert x ∈ S die Wahrscheinlichkeit P(X = x) zu. Dabei gilt p_X(x) ≥ 0 für alle x und die Summe aller Wahrscheinlichkeiten über S ist gleich 1.

Eine PMF allein bestimmt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Die Werte außerhalb des Unterstützungsbereichs haben Nullwahrscheinlichkeit. Die Zuordnung p_X schließt häufig eine endliche oder zweiseitig unendliche Menge von Werten ein, beispielsweise alle nicht-negativen ganzen Zahlen.

Zusammenhang zu anderen Größen: Die Verteilungsfunktion F_X(x) = P(X ≤ x) ergibt sich aus der Summe der PMF-Werte bis x, also F_X(x) = ∑_{t ≤ x} p_X(t) für x ∈ ℝ, wobei F_X stetig zwischen den Sprüngen bleibt. Erwartungswert und Varianz lassen sich direkt aus der PMF berechnen: E[X] = ∑_{x ∈ S} x p_X(x) und Var(X) = ∑_{x ∈ S} x^2 p_X(x) − (E[X])^2. Weitere Größen umfassen Momenten- und Generating-Funktionen, wie die Wahrscheinlichkeitsgenerierende Funktion G(t) = E[t^X] = ∑_{x ∈ S} p_X(x) t^x, gültig für geeignete Werte von t.

Beispiele gängiger diskreter Verteilungen: Bernoulli(p) mit p(1)=p, p(0)=1−p; Binomial(n,p) mit p(k)=C(n,k) p^k (1−p)^{n−k} für k=0,...,n; Poisson(λ) mit p(k)=e^{−λ} λ^k / k! für k≥0.

Abgrenzung: Eine PMF gilt für diskrete Variablen. Für kontinuierliche Variablen wird stattdessen eine Dichtefunktion f_X verwendet, deren Integral über den gesamten Raum 1 ergibt.