Randverteilungen

Randverteilungen, auch Randverteilungen genannt, bezeichnen die Verteilungen einzelner Komponenten eines mehrdimensionalen Zufallsvektors. Gegeben sei eine gemeinsame Verteilung von X1, X2, ..., Xk. Die Randverteilungen beschreiben die Verteilung jeder einzelnen Variable unabhängig von den anderen.

Im kontinuierlichen Fall besitzt jede Randverteilung eine Dichte fi(xi), die durch Integration der gemeinsamen Dichte f(x1,...,xk) gewonnen wird: fi(xi) = ∫ f(x1,...,xk) dx1...dxi-1 dxi+1...dxk. Im diskreten Fall erhält man die Randverteilung durch Summieren der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsfunktion: P(Xi = xi) = ∑_{x1,...,xk; j≠i} P(X1=x1,...,Xk=xk).

Randverteilungen geben Aufschluss über die Verteilungslage einzelner Variablen, ermöglichen Erwartungswerte wie E[g(Xi)] zu berechnen und dienen als Bausteine zur Bestimmung der Abhängigkeiten zwischen Variablen. Sie reichen jedoch nicht aus, um Abhängigkeiten oder Kopplungen zwischen Variablen zu beschreiben; dazu braucht man die gemeinsame Verteilung oder bedingte Verteilungen.

Beispiele: Für eine gemeinsame Dichte f_{X,Y}(x,y) gilt fX(x) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dy; für eine diskrete gemeinsame Verteilung P_{X,Y}(x,y) gilt PX(x) = ∑_y P_{X,Y}(x,y).

In der Praxis werden Randverteilungen häufig genutzt, um die Verteilung jeder Variablen separat zu analysieren, etwa in der explorativen Datenanalyse oder bei der Parametrisierung von Modellen, wobei die Abhängigkeiten zwischen Variablen durch die gemeinsame Verteilung oder durch bedingte Verteilungsmodelle adressiert werden müssen.