Wahrscheinlichkeitsmaßen

Wahrscheinlichkeitsmaße sind spezielle Maße, die auf einer σ-Algebra F von Teilmengen einer Grundmenge Ω definiert sind. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P ist eine Abbildung P: F → [0,1] mit P(Ω)=1 und der Eigenschaft der abzählbaren Additivität: Für jede Folge von paarweise disjunkten Mengen A1,A2,... in F gilt P(∪_{n≥1} A_n) = ∑_{n≥1} P(A_n). Damit erfüllt P die Kolmogorov-Axiome eines Maßes und ist damit ein endliches Maß mit Gesamtmaß 1.

Beispiele: Der diskrete Fall: Ω = {1,...,n} mit F = P(Ω) und P({i}) ≥ 0 mit ∑ P({i}) = 1, z. B. P({i}) = 1/n. Die Lebesgue-Maß auf dem Intervall [0,1] ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn es auf die Borel-Sigma-Algebra beschränkt wird. Das Dirac-Maß δ_x, das jeder Menge A das Wert 1 zuweist, wenn x ∈ A, sonst 0, ist ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Das Randmaß einer Zufallsgröße X ist μ = P∘X^{-1}, ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem reellen Zahlenraum mit der Borel-Sigma-Algebra.

Zufallsvariablen und Verteilung: Eine Zufallsvariable X: Ω → R ist bezüglich F messbar. Ihre Verteilung μ_X := P∘X^{-1} ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (R, B(R)) und beschreibt die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, die durch X abgelesen werden. Die Verteilungsfunktion F_X(x) = μ_X((−∞, x]) fasst diese Information in einer rechtsstetigen, monoton wachsenden Funktion zusammen.

Eigenschaften: Wahrscheinlichkeitsmaße sind nichtnegativ, monotone und abzählbar additiv. Für eine Folge A_n ∈ F mit A_n ↑ A gilt P(A) = lim P(A_n); für eine abnehmende Folge A_n mit P(A_1) < ∞ gilt P(∩ A_n) = lim P(A_n).

Anwendungen: Wahrscheinlichkeitsmaße dienen der formalen Modellierung von Unsicherheit, der Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen sowie der Definition von Verteilungen und der Grundlage für das Konzept der Zufallsvariable in Statistik und Stochastik.