Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschreiben, wie Wahrscheinlichkeiten über die Werte einer Zufallsvariablen verteilt sind. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu. Die Verteilung kann diskret oder stetig sein: bei diskreten Verteilungen liegt der Wertebereich X in einer abzählbaren Menge, bei stetigen Verteilungen im Intervall oder auf R mit Dichte f(x). Die Wahrscheinlichkeitsfunktion p(k) oder Wahrscheinlichkeitsmassfunktion P(X=k) gibt Wahrscheinlichkeiten für konkrete, diskrete Werte, während eine Dichtefunktion f(x) die Wahrscheinlichkeit auf einem Intervall integriert. Die Verteilungsfunktion F(x) = P(X ≤ x) liefert die kumulative Wahrscheinlichkeit, und ist monoton nicht abnehmend, mit Limes 0 bei -∞ und 1 bei ∞. Erwartungswert E[X] und Varianz Var(X) kennzeichnen Lage und Streuung; höhere Momente beschreiben Schiefe und Wuchtigkeit.

Zu den häufigen diskreten Verteilungen gehören Binomialverteilung mit Parametern n und p, die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Versuchen, und Poissonverteilung mit Parameter λ, die seltene Ereignisse in fixer Zeit- oder Raumbereich modelliert. Gleichverteilung (diskret oder stetig) modelliert Gleichwahrscheinlichkeit über Werte oder über ein Intervall. Zu den stetigen Verteilungen gehören Normalverteilung (μ, σ), Exponentialverteilung (λ) als Modell für Wartezeiten, Gamma- und Beta-Verteilungen sowie Verteilungen mit speziellen Anwendungen.

Die zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen unter bestimmten Bedingungen gegen eine Normalverteilung konvergiert. Verteilungen dienen der Modellierung, Inferenz und Simulation in Statistik, Natur- und Sozialwissenschaften sowie Ingenieurwesen; sie bilden Grundlage vieler Methoden wie Hypothesentests, Konfidenzintervalle, Maximum-Likelihood-Schätzung und Monte-Carlo-Simulation.