Ergebnisräume

Der Ergebnisraum, auch Grundgesamtheit genannt, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie die Menge aller möglichen grundlegenden Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Er wird häufig mit Ω oder S bezeichnet und enthält jedes Element ω, das als elementares Ergebnis des Versuchs gilt. Formal dient der Ergebnisraum als Träger des Wahrscheinlichkeitsmodells, auf dem Ereignisse als Teilmengen von Ω definiert werden.

Ein Ereignis A ist eine Teilmenge von Ω. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird durch ein Wahrscheinlichkeitsmaß P zugeordnet, das üblicherweise auf einer σ-Algebra F von Teilmengen von Ω definiert ist. Die Axiome verlangen unter anderem, dass P(Ω) = 1 und dass die Wahrscheinlichkeit disjunkter Ereignisse additiv ist. In vielen Anwendungen wird Ω entweder explizit festgelegt oder durch das Modell vorgegeben; F enthält jene Ereignisse, deren Wahrscheinlichkeit sinnvoll bestimmt werden kann.

Ω kann endlich, abzählbar unendlich oder unzählbar unendlich sein. Je nach Struktur des Ergebnisraums unterscheiden sich die typischen Modelle: diskrete Modelle mit abzählbar vielen Ergebnissen und kontinuierliche Modelle mit unzählbar vielen Ergebnissen, beispielsweise Ω = {1,2,3,...} bzw. Ω = [0,1].

Eine Zufallsvariable X ist eine messbare Funktion X: Ω → ℝ, die jedem elementaren Ergebnis eine reelle Zahl zuordnet. Der Wertebereich von X ergibt sich als Images von Ω. Zufallsvariablen ermöglichen es, Verteilungen und Wahrscheinlichkeiten von Zahlenhäufigkeiten zu beschreiben.

Beispiele: Beim Werfen eines fairen sechsseitigen Würfels ist Ω = {1,2,3,4,5,6}. Beim Münzwurf ist Ω = {Kopf, Zahl}. Beim Kartenspiel mit einem Standarddeck ist Ω die Menge der 52 Karten. Der Ergebnisraum bildet die Grundlage für die Definition von Ereignissen, Wahrscheinlichkeiten und Verteilungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie.