Ergebnisraum

Ergebnisraum, in der Wahrscheinlichkeitslehre auch als Probenraum oder Stichprobenraum bezeichnet, ist die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Jedes Element des Ergebnisraums wird als Ergebnis oder Ausgang des Experiments betrachtet. Die Teilmengen des Ergebnisraums, also Ereignisse, repräsentieren Ereignisse, deren Eintritt durch Wahrscheinlichkeiten quantifiziert wird.

Ein Wahrscheinlichkeitsmodell besteht aus dem Ergebnisraum Ω, einer Sigma-Algebra F von Teilmengen von Ω und einer Wahrscheinlichkeitszuordnung P, die jedem Ereignis A ∈ F eine Zahl zwischen 0 und 1 Zuordnungen. Es gilt P(Ω) = 1 und die Additivität für abzählbare Folgen von disjunkten Ereignissen. Ereignisse sind also subsets von Ω, und Wahrscheinlichkeiten beschreiben, wie wahrscheinlich das Eintreten eines Ereignisses ist.

Bei endlichen Ergebnisräumen lässt sich die Wahrscheinlichkeit oft direkt jedem einzelnen Ausgang zuordnen, z. B. Ω = {1,2,3,4,5,6} bei einem fairen Würfel, wobei P({i}) = 1/6 gilt. In kontinuierlichen oder unendlichen Räumen gelten andere Rechenweisen: z. B. Ω = [0,1] mit einer stetigen Verteilung, bei der die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses meist Null ist. Stattdessen definiert man Wahrscheinlichkeiten für Intervalle durch Integration einer Dichtefunktion.

Das Konzept des Ergebnisraums bildet die Grundlage für weitere Begriffe wie Zufallsvariable, Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit. Es dient der systematischen Modellierung von Zufallsphänomenen und der mathematischen Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten.