Statistiktheorie

Statistiktheorie ist der formale Teil der Statistik, der sich mit der Modellierung zufälliger Phänomene und der Ableitung allgemeingültiger Aussagen aus begrenzten Daten befasst. Sie verbindet Wahrscheinlichkeitsmodelle mit Inferenzaufgaben und untersucht, wie aus Stichproben Rückschlüsse auf unbekannte Größen und Verteilungen gezogen werden können. Ziel ist es, Entscheidungen unter Unsicherheit zu unterstützen und Evidenz durch mathematische Eigenschaften von Schätzern, Tests und Entscheidungsregeln zu quantifizieren.

Zentrale Konzepte sind Wahrscheinlichkeitsmodelle, Schätzung, Hypothesentests und Modelling-Ansätze wie Regression und generalisierte lineare Modelle. In der Statistiktheorie werden Eigenschaften von Schätzern (zum Beispiel Unbiasedness, Konsistenz, Effizienz) sowie deren Verteilungen analysiert, oft mittels asymptotischer Ergebnisse wie dem Zentralen Grenzwertsatz. Beliebte Methoden sind Maximum-Likelihood-Schätzer, Bayes-Schätzer, Konfidenzintervalle und Likelihood-Ratio-Tests. Die Theorie unterscheidet auch Frequentist- und Bayesianische Ansätze, inklusive Prior- und Posterior-Verteilungen sowie Risikobewertung durch Verlustfunktionen.

Anwendungsgebiete reichen von Natur- und Sozialwissenschaften über Medizin, Wirtschaft bis zu Ingenieurwesen. Statistiktheorie bildet die Grundlage für Entwurf, Analyse und Interpretation von Experimenten und Beobachtungsstudien, Modellselektion, Fehlerabschätzung und Entscheidungsfindung. Historisch gingen wichtige Impulse von Fisher, Neyman, Pearson, Wald und Kolmogorov aus, wobei moderne Statistiktheorie starke Verbindungen zu Wahrscheinlichkeits- und Stochastik-Theorien sowie zu Computeralgorithmen aufweist.