Nullmaß

Nullmaß bezeichnet in der Maßtheorie ein Maß oder die damit verbundene Eigenschaft, dass bestimmte Mengen den Wert Null zugewiesen bekommen. Genauer: Ein Maßraum (X, Σ) besitzt das Nullmaß μ, wenn μ(A) = 0 für alle A in Σ – das ist das sogenannte triviale oder Nullmaß. Der Begriff wird auch verwendet, um eine spezifische Teilmenge als Nullmenge zu bezeichnen, also eine messbare Menge A mit μ(A) = 0.

Ein bekanntes Beispiel ist die Lebesgue-Maßheit auf dem reellen Zahlenraum. Dort ist beispielsweise jedes abzählbare Set wie die Menge der rationalen Zahlen eine Nullmenge, und auch der Cantor-Menge besitzt Nullmaß. Allgemein gilt in R^n: Jede abzählbare Menge hat Nullmaß; auch viele kurvige oder eindimensionale Untermengen haben Nullmaß. Nullmengen bilden eine σ-Obrigkeit (σ-Ideal): Die Vereinigung abzählbar vieler Nullmengen ist wiederum eine Nullmenge.

Wichtig ist die Beziehung zur “fast überall”-Sprache. Eine Eigenschaft gilt fast überall, wenn sie außerhalb einer Nullmenge gilt. Anders ausgedrückt: Sie kann auf einer Teilmenge von Maß Null ignoriert werden, ohne die Aussage über den Rest des Raums zu verändern.

Nullmaß in allgemeiner Form bedeutet, dass μ(A) = 0 für alle messbaren Mengen A in dem betrachteten Maßraum. Das Nullmaß ist das einfachste Maß, liefert aber wenig Information; in Praxis verwendet man oft deutlich konstruktivere Maße wie die Lebesgue-Maßheit oder Wahrscheinlichkeitsmaße.

In Wahrscheinlichkeitsräumen entspricht eine Nullmenge Ereignissen mit Nullwahrscheinlichkeit; solche Ereignisse treten „fast nie“ auf, und Aussagen gelten oft „fast sicher“ (fast surely) außerhalb einer Nullmenge.